有限数学示例

$y = \frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$ 。

$\frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$

解题步骤 2

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{5^{2} - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = x$ 。

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$

解题步骤 3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$8 + x^{2}, 1$

解题步骤 3.2

去掉圆括号。

$8 + x^{2}, 1$

解题步骤 3.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$8 + x^{2}$

解题步骤 4

将 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$ 中的每一项乘以 $8 + x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$ 中的每一项乘以 $8 + x^{2}$ 。

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} (8 + x^{2}) = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $8 + x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} (8 + x^{2}) = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.1.2

重写表达式。

$(5 + x) (5 - x) = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(5 + x) (5 - x)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

运用分配律。

$5 (5 - x) + x (5 - x) = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.2.2

运用分配律。

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.2.3

运用分配律。

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.3.1.3

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$25 - 5 x + 5 x - x \cdot x = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$25 - 5 x + 5 x - x^{2} = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.3.2

将 $- 5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$25 + 0 - x^{2} = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.2.3.3

将 $25$ 和 $0$ 相加。

$25 - x^{2} = y (8 + x^{2})$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

运用分配律。

$25 - x^{2} = y \cdot 8 + y x^{2}$

解题步骤 4.3.2

将 $8$ 移到 $y$ 的左侧。

$25 - x^{2} = 8 y + y x^{2}$

解题步骤 5

求解方程。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $y x^{2}$ 。

$25 - x^{2} - y x^{2} = 8 y$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $25$ 。

$- x^{2} - y x^{2} = 8 y - 25$

解题步骤 5.3

从 $- x^{2} - y x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} \cdot - 1 - y x^{2} = 8 y - 25$

解题步骤 5.3.2

从 $- y x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- y) = 8 y - 25$

解题步骤 5.3.3

从 $x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- y)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$

解题步骤 5.4

将 $x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$ 中的每一项除以 $- 1 - y$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$ 中的每一项都除以 $- 1 - y$ 。

$\frac{x^{2} (- 1 - y)}{- 1 - y} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $- 1 - y$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x^{2} (- 1 - y)}{- 1 - y} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

在公分母上合并分子。

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 - y}$

解题步骤 5.4.3.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1) - y}$

解题步骤 5.4.3.3

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1) - (y)}$

解题步骤 5.4.3.4

从 $- 1 (1) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1 + y)}$

解题步骤 5.4.3.5

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{8 y - 25}{1 + y}$

解题步骤 5.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

解题步骤 5.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

解题步骤 5.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

解题步骤 5.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

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